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% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
\newmdtheoremenv[
  backgroundcolor=gray!10,
  % 边框与背景一致，边框线会消失
  linecolor=gray!10
]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{9.10 习题}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{9.10.1}

\begin{itemize}
  \item $\Rightarrow$

        设$\lim\limits_{n \rightarrow \infty; n \in N}a_n = L$，
        由定义9.10.3，对任意$\epsilon > 0$，存在$M$使得
        \begin{align*}
          |a_n - L| \leq \epsilon
        \end{align*}
        取$N = \lfloor M \rfloor + 1$（注4.4.2中$\lfloor M \rfloor$表示$M$的整数部分）
        对$n \geq N$的$n \in \mathbb{N}$均成立。

        由定义6.1.8，序列是收敛于$L$的，即$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$

  \item $\Leftarrow$

        设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$，
        由定义6.1.8，对任意$\epsilon > 0$，存在正整数$N$使得
        \begin{align*}
          |a_n - L| \leq \epsilon
        \end{align*}
        对$n \geq N$均成立。
        令$N$为定义9.10.3中的$M$，即$M=N$，于是，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty; n \in N}a_n = L$
\end{itemize}

\end{document}
